z transform convolution

Statement :

If  x₁(n) * x₂(n) ↔ X₁(Z)  * X₂(Z)         

Proof :

  

              ∞

y (n)   = ∑      x(k) h(n-k)

            k=-∞

                 ∞           ∞

y(z)  =       ∑       [   ∑   x(k) h(n-k) ] Z^-n

                n=-∞    k=-∞

                  ∞                         ∞

y(z)  =       ∑      x(k) Z^-k      ∑  h(n-k)  Z^-(n-k)

                k=-∞                n=-∞

n=l and k=0 in second terms;

                  ∞                       ∞

y(z)  =       ∑      x(k) Z^-k    ∑  h(l)  Z^-l

                k=-∞                l=-∞

Y(z) = X(Z) H(Z)

Statement :

If  x₁(n) * x₂(n) ↔ X₁(Z)  * X₂(Z)         

Proof :

  

              ∞

y (n)   = ∑      x(k) h(n-k)

            k=-∞

                 ∞           ∞

y(z)  =       ∑       [   ∑   x(k) h(n-k) ] Z^-n

                n=-∞    k=-∞

                  ∞                         ∞

y(z)  =       ∑      x(k) Z^-k      ∑  h(n-k)  Z^-(n-k)

                k=-∞                n=-∞

n=l and k=0 in second terms;

                  ∞                       ∞

y(z)  =       ∑      x(k) Z^-k    ∑  h(l)  Z^-l

                k=-∞                l=-∞

Y(z) = X(Z) H(Z)