Statement :
If x1(n) * x2(n) ↔ X1(Z)
* X2(Z)
Proof :
∞
y (n) = ∑ x(k)
h(n-k)
k=-∞
∞
∞
y(z) = ∑ [ ∑ x(k)
h(n-k) ] Z-n
n=-∞ k=-∞
∞ ∞
y(z) = ∑ x(k) Z-k ∑ h(n-k) Z-(n-k)
k=-∞ n=-∞
n=l and k=0 in second terms;
∞ ∞
y(z) = ∑ x(k) Z-k ∑ h(l) Z-l
k=-∞ l=-∞
Y(z) = X(Z) H(Z)
Statement :
If x1(n) * x2(n) ↔ X1(Z)
* X2(Z)
Proof :
∞
y (n) = ∑ x(k)
h(n-k)
k=-∞
∞
∞
y(z) = ∑ [ ∑ x(k)
h(n-k) ] Z-n
n=-∞ k=-∞
∞ ∞
y(z) = ∑ x(k) Z-k ∑ h(n-k) Z-(n-k)
k=-∞ n=-∞
n=l and k=0 in second terms;
∞ ∞
y(z) = ∑ x(k) Z-k ∑ h(l) Z-l
k=-∞ l=-∞
Y(z) = X(Z) H(Z)