Z transform properties

In this section, we will study the properties of the Z transform. We know that x (n) and X (Z) are Z transform pair and denoted as,

               Z
If  x (n)   ↔   X(Z)  

1. Linearity :

 In this property 

                    Z                                  Z
If  x1 (n) is   ↔   X1(Z)  and  x2 (n)   ↔  X2(Z)  then
              
                                 DTFT
a1 x1 (n)   + a2 x2 (n)    ↔    a1 X1 (Z)   + a2 X2 (Z)  

2. Time shifting : 

 If 
               Z
x (n) is    ↔    X(Z)  then 

              Z
x(n-k)    ↔    Z –k  X(Z)  

3. Scaling in the Z domain :

  If 

              Z                                          Z
x (n) is   ↔    X(Z)  then  a n  x(n)      ↔    X ( Z / a)

4. Time reversal :

 If 
              Z
x (n) is   ↔    X(Z)  then 
  
             Z
x (-n)    ↔    X(Z-1)   

5. Differentiation :

If 
                Z
x (n)   is  ↔    X(Z)  then 

               Z
n x (n)    ↔   -Z  dX(Z) / dZ  


6. Convolution theorem :

                   Z                                      Z
If  x1 (n) is  ↔   X1(Z)  and  x2 (n)     ↔     X2(Z)  then

                                Z
  x1 (n) * x2 (n)  is    ↔     X1(Z) . X2(Z)