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### Z transform properties

In this section, we will study the properties of the Z transform. We know that x (n) and X (Z) are Z transform pair and denoted as,

Z
If  x (n)   ↔   X(Z)

1. Linearity :

In this property

Z                                  Z
If  x(n) is   ↔   X1(Z)  and  x(n)     X2(Z)  then

DTFT
a1 x(n)   + a2 x(n)    ↔    a1 X(Z)   + a2 X(Z)

2. Time shifting :

If
Z
x (n) is    ↔    X(Z)  then

Z
x(n-k)    ↔    –k  X(Z)

3. Scaling in the Z domain :

If

Z                                          Z
x (n) is   ↔    X(Z)  then  a  x(n)      ↔    X ( Z / a)

4. Time reversal :

If
Z
x (n) is   ↔    X(Z)  then

Z
x (-n)    ↔    X(Z-1)

5. Differentiation :

If
Z
x (n)   is  ↔    X(Z)  then

Z
n x (n)    ↔   -Z  dX(Z) / dZ

6. Convolution theorem :

Z                                      Z
If  x(n) is  ↔   X1(Z)  and  x(n)     ↔     X2(Z)  then

Z
x(n) * x(n)  is    ↔     X1(Z) . X2(Z)
In this section, we will study the properties of the Z transform. We know that x (n) and X (Z) are Z transform pair and denoted as,

Z
If  x (n)   ↔   X(Z)

1. Linearity :

In this property

Z                                  Z
If  x(n) is   ↔   X1(Z)  and  x(n)     X2(Z)  then

DTFT
a1 x(n)   + a2 x(n)    ↔    a1 X(Z)   + a2 X(Z)

2. Time shifting :

If
Z
x (n) is    ↔    X(Z)  then

Z
x(n-k)    ↔    –k  X(Z)

3. Scaling in the Z domain :

If

Z                                          Z
x (n) is   ↔    X(Z)  then  a  x(n)      ↔    X ( Z / a)

4. Time reversal :

If
Z
x (n) is   ↔    X(Z)  then

Z
x (-n)    ↔    X(Z-1)

5. Differentiation :

If
Z
x (n)   is  ↔    X(Z)  then

Z
n x (n)    ↔   -Z  dX(Z) / dZ

6. Convolution theorem :

Z                                      Z
If  x(n) is  ↔   X1(Z)  and  x(n)     ↔     X2(Z)  then

Z
x(n) * x(n)  is    ↔     X1(Z) . X2(Z)