DFT example

Before we fine DFT first let we check it out the what is DFT.

Find the DFT of the following finite equation sequence of length L.

x(n) = A for 0≤ n ≤   L-1

       = 0 otherwise

We have

  

           N-1

X(K) = ∑    x(n) . e ^–j2πkn/N

             n=0

           N-1

X(K) = ∑    A . e ^–j2πkn/N

            n=0

           N-1

X(K) = ∑    x(n) .( e ^–j2πk/N  ) ⁿ

          n=0

            
We have standard summation formula 

            N2

X(K) = ∑    a ^K   =  a ^N1   - a ^N2+1 / 1- a 

         K=N1

here N1=0, N2 = L-1 and a =  e ^–j2πk/N

          N-1

X(K) = ∑    A [ ( e ^–j2πk/N  )⁰ - .( e ^–j2πk/N  )^L-1+1  /1- e ^{–j2πk/N  ]}

             n=0

           N-1

X(K) = ∑    A [ ( 1 - .( e ^–j2πkL/N  )  / 1- e ^–j2πk/N 

             n=0